Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
lim x -4 1-cos (x+4)x^2+8 x+16

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de da função . Esse exercício está dentro do tema de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como . Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver esses limites aplicando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1 - cos(-4 + 4)(-4)^2 + 8(-4) + 16 = 1 - cos(0)16 - 32 + 16 = 1 - 10 = 00 na função para ver o que acontece:
Como temos uma forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador ddx[1 - cos(x + 4)] = sin(x + 4) :
ddx[x^2 + 8x + 16] = 2x + 8
Derivada do denominador limx to -4 sin(x + 4)2x + 8 :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos substituir sin(-4 + 4)2(-4) + 8 = sin(0)-8 + 8 = 00 novamente nessa nova expressão:
Oops! Ainda estamos com . Então, precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital de novo.

Passo 5

Derivando novamente:
Derivada do novo numerador ddx[sin(x + 4)] = cos(x + 4) :
ddx[2x + 8] = 2
Derivada do novo denominador limx to -4 cos(x + 4)2 :
Agora, o limite fica:

Resposta

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