Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e técnicas de simplificação de expressões com raízes.
Passo 2
Primeiro, observe que ao substituir
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Esse é um caso indeterminado, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos reescrever as raízes em potências fracionárias para facilitar a manipulação:
Agora, para simplificar, podemos usar a fórmula de fatoração para expressões do tipo
. A fórmula geral é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de fatoração no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Parece que não conseguimos fatorar diretamente, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir
. Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0.
Passo 5
Expressamos
em termos de
:
Agora, substituímos na expressão original:
Para pequenas
, podemos usar a expansão em série de Taylor para as potências fracionárias:
Passo 6
Aplicando a aproximação:
Numerador:
Denominador:
Agora, a expressão fica:
Resposta
Portanto, o limite é
.
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sabendo que: determine:
sabendo que:
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