Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e técnicas de simplificação de expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, observe que ao substituir diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Esse é um caso indeterminado, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos reescrever as raízes em potências fracionárias para facilitar a manipulação:
Agora, para simplificar, podemos usar a fórmula de fatoração para expressões do tipo . A fórmula geral é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de fatoração no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Parece que não conseguimos fatorar diretamente, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir . Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0.

Passo 5

Expressamos em termos de :
Agora, substituímos na expressão original:
Para pequenas , podemos usar a expansão em série de Taylor para as potências fracionárias:
é

Passo 6

Aplicando a aproximação:
Numerador:
Denominador:
Agora, a expressão fica:

Resposta

Portanto, o limite é .

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sabendo que: determine:
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