Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
lim x 1 raiz[3]x-1raiz[2]x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 1 raiz[3]x - 1raiz2x - 1
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites e técnicas de simplificação de expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, observe que ao substituir raiz[3]1 - 1raiz21 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
Esse é um caso indeterminado, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos reescrever as raízes em potências fracionárias para facilitar a manipulação:
x^1/3 - 1x^1/2 - 1
Agora, para simplificar, podemos usar a fórmula de fatoração para expressões do tipo a^n - b^n = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + dots + ab^n-2 + b^n-1) . A fórmula geral é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de fatoração no numerador e denominador:
Numerador:
x^1/3 - 1 = (x^1/3 - 1)
Denominador:
x^1/2 - 1 = (x^1/2 - 1)
Parece que não conseguimos fatorar diretamente, então vamos tentar uma substituição. Vamos definir . Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0.

Passo 5

Expressamos x = 1 + t em termos de (1 + t)^1/3 - 1(1 + t)^1/2 - 1 :
(1 + t)^k approx 1 + kt quando t é pequeno
Agora, substituímos na expressão original:
Para pequenas , podemos usar a expansão em série de Taylor para as potências fracionárias:
é

Passo 6

Aplicando a aproximação:
Numerador:
(1 + t)^1/3 - 1 approx 1 + 13t - 1 = 13t
Denominador:
(1 + t)^1/2 - 1 approx 1 + 12t - 1 = 12t
Agora, a expressão fica:
13t12t = 1/31/2 = 23

Resposta

Portanto, o limite é .

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