Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
sabendo que: cos (A+B)=cos A cos B-sen A sen B cos 2 x=cos ^2 x-sen^2 x sen 2 x=2 sen x cos x determine: lim x 0 cos x-cos 3 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 0 cos x - cos 3xx^2
Estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões envolvendo cossenos de diferentes ângulos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno de múltiplos ângulos. Sabemos que:
cos 3x = 4 cos^3 x - 3 cos x
Essa identidade nos permite expressar em termos de , o que simplifica nossa expressão original.

Passo 3

Substituindo a identidade na expressão original, temos:
cos x - cos 3x = cos x - (4 cos^3 x - 3 cos x) = cos x - 4 cos^3 x + 3 cos x = 4 cos x - 4 cos^3 x
Então, a expressão fica:
cos x - cos 3xx^2 = 4 cos x - 4 cos^3 xx^2 = 4 cos x (1 - cos^2 x)x^2

Passo 4

Sabemos que a partir da identidade pitagórica. Portanto, substituindo isso na expressão, temos:
Agora, podemos reescrever como , então:

Passo 5

Sabemos que:
E também que limx to 0 sen xx = 1 . Aplicando esses limites, temos:

Resposta

O limite é igual a 4.

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