Nos exercícios de 6 a 14 , ache R' e R''.
R(t) = 5 * sen(2t) * i - sec(4t) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para achar a primeira e a segunda derivada de uma função vetorial . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação em cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui, tem duas componentes:
  • Na direção i:
  • Na direção j:
Nossa tarefa é encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa função.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a t.
Primeiro, a derivada de :
  • A derivada de é .
  • Então, .
Segundo, a derivada de :
  • A derivada de é .
  • Então, .
Portanto, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Isso significa que precisamos derivar novamente cada componente da .
Primeiro, a derivada de :
  • A derivada de é .
  • Então, .
Segundo, a derivada de :
  • Vamos usar a regra do produto aqui. Seja e .
  • A derivada de u é .
  • A derivada de v é .
  • Aplicando a regra do produto: .
  • Multiplicando por : .
Portanto, a segunda derivada é:
Podemos simplificar combinando os termos em j:

Resposta

As derivadas da função vetorial são:
e

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