Nos exercícios de 6 a 14 , ache
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para achar a primeira e a segunda derivada de uma função vetorial
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação em cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui,
tem duas componentes:
- Na direção
: - Na direção
:
Nossa tarefa é encontrar a primeira derivada
e a segunda derivada
dessa função.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a
.
Primeiro, a derivada de
:
- A derivada de
é . - Então,
.
Segundo, a derivada de
:
- A derivada de
é . - Então,
.
Portanto, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa que precisamos derivar novamente cada componente da
.
Primeiro, a derivada de
:
- A derivada de
é . - Então,
.
Segundo, a derivada de
:
- Vamos usar a regra do produto aqui. Seja
e . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - Aplicando a regra do produto:
. - Multiplicando por
: .
Portanto, a segunda derivada é:
Podemos simplificar combinando os termos em
:
Resposta
As derivadas da função vetorial são:
e