Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
11. y = 4 * raiz(x^3) + 2, de P0(0,2) até P1(1,6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 11 que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por , indo do ponto até . Aqui, vamos usar cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, que nos ajuda a medir a “distância” ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva entre dois pontos e . A fórmula é:
Isso significa que vamos integrar a raiz de o quadrado da derivada de em relação a , de até .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de em relação a . A função é , que podemos reescrever como .
Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos colocar a derivada na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então , ou seja, .
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando :
Aplicando os limites de 1 a 37:

Passo 7

Calculando :
Então:

Resposta

O comprimento de arco da curva de até é aproximadamente 4,15 unidades.

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