Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
11.
, de
até
11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 11 que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por
, indo do ponto
até
. Aqui, vamos usar cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco, que nos ajuda a medir a “distância” ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Isso significa que vamos integrar a raiz de
o quadrado da derivada de
em relação a
, de
até
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
. A função é
, que podemos reescrever como
.
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos colocar a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando
:
Aplicando os limites de 1 a 37:
Passo 7
Calculando
:
Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva
de
até
é aproximadamente 4,15 unidades.
Exercícios relacionados
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se converge, então
diverge. ( )
Se
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se diverge, então
)
Se
Seja
uma função das variáveis
e
que satisfaz
. Qual expressão define
?
Nos exercícios 22 a 29, calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.
26.
26.