Seja f uma função das variáveis x e y que satisfaz f(x+y, x-y) = x*y + y^2. Qual expressão define f(x, y) ?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de funções de duas variáveis. A gente precisa descobrir como é a expressão da função sabendo que quando a gente soma e subtrai as variáveis e , a função resulta em . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular as variáveis e substituir na função original.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar e . Isso facilita porque a gente vai reescrever a função em termos de e .

Passo 3

Agora, a gente precisa expressar e em função de e . Temos:
Para achar e , somamos e subtraímos essas duas equações:
Somando:
Subtraindo:

Passo 4

Substituímos e na expressão da função :

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:

Resposta

A expressão que define é:

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