Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
converge, então
diverge. ( )
Se
Passo 1
Vamos analisar a seguinte afirmação: “Se
converge, então
diverge.” Essa questão pertence ao estudo de séries infinitas, um tópico de Cálculo. Para resolver, vamos verificar se essa afirmação é sempre verdadeira ou se há contras exemplos que a invalidem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série
convergir. Isso quer dizer que a soma dos termos
se aproxima de um valor finito à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, consideremos a série
. Queremos saber se, sempre que a primeira série converge, a segunda necessariamente diverge.
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo específico. Suponha que
. A série
é uma série p com
, que sabemos que converge.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série
. Essa é uma série que soma os quadrados dos números naturais, e sabemos que essa série diverge, pois os termos não tendem a zero e crescem sem limite.
Passo 6
No entanto, esse é apenas um exemplo onde a afirmação é verdadeira. Precisamos verificar se existe algum caso onde
converge, mas
também converge.
Passo 7
Considere agora
. A série
é a série harmônica, que diverge. Portanto, não serve como contraexemplo.
Passo 8
Vamos tentar com
onde
. A série
converge para
. A série
diverge para qualquer
.
Passo 9
Parece que sempre que
converge,
diverge. Não encontramos um contraexemplo onde ambas convergem.
Resposta
Verdadeiro. Sempre que
converge, a série
diverge.
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Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se diverge, então
)
Se
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
11. , de
até
11.
Seja
uma função das variáveis
e
que satisfaz
. Qual expressão define
?