Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an converge, então sumn=1^infty 1an diverge. ( )

Passo 1

Vamos analisar a seguinte afirmação: “Se converge, então diverge.” Essa questão pertence ao estudo de séries infinitas, um tópico de Cálculo. Para resolver, vamos verificar se essa afirmação é sempre verdadeira ou se há contras exemplos que a invalidem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Isso quer dizer que a soma dos termos se aproxima de um valor finito à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, consideremos a série . Queremos saber se, sempre que a primeira série converge, a segunda necessariamente diverge.

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo específico. Suponha que . A série é uma série p com , que sabemos que converge.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série . Essa é uma série que soma os quadrados dos números naturais, e sabemos que essa série diverge, pois os termos não tendem a zero e crescem sem limite.

Passo 6

No entanto, esse é apenas um exemplo onde a afirmação é verdadeira. Precisamos verificar se existe algum caso onde converge, mas também converge.

Passo 7

Considere agora . A série é a série harmônica, que diverge. Portanto, não serve como contraexemplo.

Passo 8

Vamos tentar com onde . A série converge para . A série diverge para qualquer .

Passo 9

Parece que sempre que converge, diverge. Não encontramos um contraexemplo onde ambas convergem.

Resposta

Verdadeiro. Sempre que converge, a série diverge.

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