Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então lim n infty an neq 0 ( )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries infinitas e limites de sequências. O enunciado diz:
“Se sumn=1^infty an diverge, então limn infty an neq 0.”
Vamos precisar entender conceitos de séries convergentes e divergentes, além de como os limites das sequências se comportam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que para uma série infinita sumn=1^infty an convergir, é necessário que o limite dos termos an quando n tende ao infinito seja zero, ou seja, limn infty an = 0. Isso é conhecido como o Teste da Divergência ou Teste do Termo Geral.
No entanto, o teste diz apenas que se o limite dos termos não for zero, a série certamente diverge. A questão está invertendo isso e afirmando que se a série diverge, então o limite dos termos não é zero. Precisamos verificar se isso é sempre verdadeiro.

Passo 3

Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos pensar em um contraexemplo. Considere a série harmônica:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem soma finita. Agora, vamos verificar o limite dos termos:
limn infty 1n = 0
Aqui, a série diverge, mas o limite dos termos é exatamente zero. Isso mostra que é possível uma série divergir mesmo com o limite dos termos sendo zero, o que contraria a afirmação original.

Resposta

Falso.

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