Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
diverge, então
)
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries infinitas e limites de sequências. O enunciado diz:
“Se
diverge, então
.”
Vamos precisar entender conceitos de séries convergentes e divergentes, além de como os limites das sequências se comportam nessas situações.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para uma série infinita
convergir, é necessário que o limite dos termos
quando
tende ao infinito seja zero, ou seja,
. Isso é conhecido como o Teste da Divergência ou Teste do Termo Geral.
No entanto, o teste diz apenas que se o limite dos termos não for zero, a série certamente diverge. A questão está invertendo isso e afirmando que se a série diverge, então o limite dos termos não é zero. Precisamos verificar se isso é sempre verdadeiro.
Passo 3
Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos pensar em um contraexemplo. Considere a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem soma finita. Agora, vamos verificar o limite dos termos:
Aqui, a série diverge, mas o limite dos termos é exatamente zero. Isso mostra que é possível uma série divergir mesmo com o limite dos termos sendo zero, o que contraria a afirmação original.
Resposta
Falso.