Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
diverge, então
)
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma afirmação sobre séries infinitas e limites de sequências. O enunciado diz:
“Se
diverge, então
.”
Vamos precisar entender conceitos de séries convergentes e divergentes, além de como os limites das sequências se comportam nessas situações.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para uma série infinita
convergir, é necessário que o limite dos termos
quando
tende ao infinito seja zero, ou seja,
. Isso é conhecido como o Teste da Divergência ou Teste do Termo Geral.
No entanto, o teste diz apenas que se o limite dos termos não for zero, a série certamente diverge. A questão está invertendo isso e afirmando que se a série diverge, então o limite dos termos não é zero. Precisamos verificar se isso é sempre verdadeiro.
Passo 3
Para ver se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos pensar em um contraexemplo. Considere a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, ela não tem soma finita. Agora, vamos verificar o limite dos termos:
Aqui, a série diverge, mas o limite dos termos é exatamente zero. Isso mostra que é possível uma série divergir mesmo com o limite dos termos sendo zero, o que contraria a afirmação original.
Resposta
Falso.
Exercícios relacionados
Dada a função
:
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo , com
.
(a) Calcule a taxa média de variação da função no intervalo
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se converge, então
diverge. ( )
Se
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
11. , de
até
11.