Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
7.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada pela função no intervalo de até . Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função, que envolve calcular a derivada da função e fazer uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A função é . A derivada de é e a derivada de é , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco, que é:
No nosso caso, e , e já temos .

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, somamos 1 a :

Passo 6

Perceba que , onde é a função cosseno hiperbólico. Então:
Portanto, a raiz quadrada disso é:

Passo 7

Agora, o comprimento do arco fica assim:
A integral de é , que é a função seno hiperbólico.

Passo 8

Calculando a integral nos limites de 0 a 1:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é , que aproximadamente vale 1,1752 unidades.

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