Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
7.
7.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva dada pela função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função, que envolve calcular a derivada da função e fazer uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A função é
. A derivada de
é
e a derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco, que é:
No nosso caso,
e
, e já temos
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, somamos 1 a
:
Passo 6
Perceba que
, onde
é a função cosseno hiperbólico. Então:
Portanto, a raiz quadrada disso é:
Passo 7
Agora, o comprimento do arco fica assim:
A integral de
é
, que é a função seno hiperbólico.
Passo 8
Calculando a integral nos limites de 0 a 1:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo de
a
é
, que aproximadamente vale 1,1752 unidades.