Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
29.
e
29.
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, utilizaremos conceitos de cálculo, especificamente a determinação de pontos de interseção das funções e a integração para calcular a área entre elas. Precisaremos primeiro encontrar onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões:
Como estamos lidando com valor absoluto, precisamos considerar dois casos:
e
.
Caso 1:
Como
, consideramos apenas
.
Caso 2:
Como
, consideramos apenas
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, identificamos qual função está acima da outra entre
e
. Vamos calcular os valores das funções em um ponto dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
em
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as duas curvas, calculamos a integral da diferença das funções de
a
:
Observando que
pode ser reescrito como
para
no intervalo
e
para
no intervalo
, podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral (
de 1 a 2):
Segunda Integral (
de 2 a 3):
Passo 6
Somamos as áreas das duas integrais:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
11. e
11.
- a)
b)
c)
d)
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
4.
4.
Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
7.
7.