Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
16.
, de
até
16.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral que dá o comprimento do arco da curva
que vai do ponto
até
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
, e
e
são os limites de integração, que nesse caso são os
dos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando as regras de derivação:
Passo 4
Vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco. Ficará assim:
Como o quadrado de
é
, podemos simplificar:
Passo 5
Pronto! A gente estabeleceu a integral que representa o comprimento do arco da curva
entre os pontos dados. Essa integral nos dá exatamente o comprimento que estamos procurando.
Resposta
A integral que dá o comprimento de arco da curva é:
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5. e
5.
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24. e
24.