Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
16. y = 1/x, de P0(1/4, 4) até P1(4, 1/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral que dá o comprimento do arco da curva que vai do ponto até . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a , e e são os limites de integração, que nesse caso são os dos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando as regras de derivação:

Passo 4

Vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco. Ficará assim:
Como o quadrado de é , podemos simplificar:

Passo 5

Pronto! A gente estabeleceu a integral que representa o comprimento do arco da curva entre os pontos dados. Essa integral nos dá exatamente o comprimento que estamos procurando.

Resposta

A integral que dá o comprimento de arco da curva é:

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