Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 4 que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por . Essa tarefa envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre cálculo de integrais para determinar o comprimento de uma curva. Vamos precisar utilizar a fórmula do comprimento de arco e entender um pouco sobre curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva de uma forma que facilite o cálculo. Podemos identificar que essa equação representa uma astroid, que é um tipo de curva conhecida. Para trabalhar melhor, vamos expressar e em termos de um parâmetro .

Passo 3

As equações paramétricas de uma astroid são dadas por:
Onde é um parâmetro que define o tamanho da astroid. Comparando com nossa equação original, vemos que , portanto . Assim, temos:

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento de arco da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde varia de 0 a para cobrir toda a astroid.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Como :

Passo 7

Agora, notamos que , então:
Sabemos que a integral de de 0 a é igual a 4, então:

Resposta

O comprimento de arco da curva é 12 unidades.

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