Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 4 que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por
. Essa tarefa envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre cálculo de integrais para determinar o comprimento de uma curva. Vamos precisar utilizar a fórmula do comprimento de arco e entender um pouco sobre curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva
de uma forma que facilite o cálculo. Podemos identificar que essa equação representa uma astroid, que é um tipo de curva conhecida. Para trabalhar melhor, vamos expressar
e
em termos de um parâmetro
.
Passo 3
As equações paramétricas de uma astroid são dadas por:
Onde
é um parâmetro que define o tamanho da astroid. Comparando com nossa equação original, vemos que
, portanto
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento de arco da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde
varia de 0 a
para cobrir toda a astroid.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Como
:
Passo 7
Agora, notamos que
, então:
Sabemos que a integral de
de 0 a
é igual a 4, então:
Resposta
O comprimento de arco da curva
é 12 unidades.
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até
16.