Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
5. e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, queremos encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região em torno do eixo . A região é delimitada pelas curvas , , e . Vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver esse problema.

Passo 2

Para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo , usamos o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) infinitamente finos que formam o sólido quando girados em torno do eixo. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a função que define a borda da região que está sendo girada, e são os limites de integração ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos identificar e os limites de integração. A função que define a borda superior da região é e a borda inferior é . Os limites de integração são e . Então, nosso integral fica:
Simplificando o integrando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o integral:
Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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24. e
  1. e .