Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
5.
e
5.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, queremos encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar a região
em torno do eixo
. A região
é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver esse problema.
Passo 2
Para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo
, usamos o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de círculos (discos) infinitamente finos que formam o sólido quando girados em torno do eixo. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a função que define a borda da região que está sendo girada, e
são os limites de integração ao longo do eixo
.
Passo 3
Vamos identificar
e os limites de integração. A função que define a borda superior da região é
e a borda inferior é
. Os limites de integração são
e
. Então, nosso integral fica:
Simplificando o integrando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o integral:
Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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16. , de
até
16.
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7.
7.
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24.
-
e .