Nos exercícios 1 a 14, encontrar o comprimento de arco da curva dada.
y = (1/3)(2 + x^2)^(3/2), 0 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar o comprimento do arco da curva para . A gente vai usar o conteúdo de Cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação a , e depois integrar uma expressão baseada nessa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função é . Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos elevar ao quadrado:

Passo 4

A fórmula do comprimento do arco de a é:
Substituindo que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliada de 0 a 3:

Resposta

O comprimento do arco da curva é 12 unidades.

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