Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
a) L^{-1}{1/(s(s+1))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar usando o teorema da convolução. O que temos aqui é uma transformada inversa de Laplace:
Vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace, como usar o teorema da convolução e aplicar essas ideias para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada inversa de Laplace. Basicamente, ela nos permite passar do domínio da frequência (s) de volta para o domínio do tempo (t). No nosso caso, queremos descobrir qual função no tempo corresponde à expressão .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o teorema da convolução. Esse teorema diz que a transformada inversa de um produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das suas transformadas inversas no domínio do tempo. Em outras palavras:
Aqui, representa a operação de convolução.

Passo 4

No nosso exercício, temos:
Então, podemos identificar:
Vamos encontrar as transformadas inversas de e :
çã
Então, no domínio do tempo, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teorema da convolução. A convolução de e é dada por:
Substituindo e , temos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Integrando :

Resposta

Portanto, a função é:

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