Use o teorema da convolução para encontrar
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar
usando o teorema da convolução. O que temos aqui é uma transformada inversa de Laplace:
Vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace, como usar o teorema da convolução e aplicar essas ideias para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada inversa de Laplace. Basicamente, ela nos permite passar do domínio da frequência (s) de volta para o domínio do tempo (t). No nosso caso, queremos descobrir qual função no tempo corresponde à expressão
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o teorema da convolução. Esse teorema diz que a transformada inversa de um produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das suas transformadas inversas no domínio do tempo. Em outras palavras:
Aqui,
representa a operação de convolução.
Passo 4
No nosso exercício, temos:
Então, podemos identificar:
Vamos encontrar as transformadas inversas de
e
:
Então, no domínio do tempo, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teorema da convolução. A convolução de
e
é dada por:
Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Integrando
:
Resposta
Portanto, a função
é: