Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano
que está dentro da cardioide
e fora da circunferência
e cujo topo está no plano
.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que montar uma integral tripla na forma iterada para calcular
. A região
é um cilindro circular reto sólido com a base definida pela área dentro da cardioide
e fora da circunferência
, e com o topo no plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com formas circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
,
e
.
-
Para
: Como estamos lidando com uma cardioide completa que volta ao ponto inicial, varia de a . -
Para
: A região está entre a circunferência e a cardioide . Então, para cada , varia de até . -
Para
: O cilindro vai do plano base até o topo no plano . Portanto, varia de a .
Passo 3
Agora que temos os limites, vamos montar a integral iterada. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Portanto, a integral fica assim:
Resposta
A integral tripla iterada para calcular
sobre a região
é: