Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) d z r d r d theta sobre a região D dada.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano x y que está dentro da cardioide r=1+cos theta e fora da circunferência r=1 e cujo topo está no plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que montar uma integral tripla na forma iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta. A região D é um cilindro circular reto sólido com a base definida pela área dentro da cardioide r = 1 + cos theta e fora da circunferência r = 1, e com o topo no plano z = 4. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com formas circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável: theta, r e z.
  • Para theta: Como estamos lidando com uma cardioide completa que volta ao ponto inicial, theta varia de 0 a 2pi.
  • Para r: A região está entre a circunferência r = 1 e a cardioide r = 1 + cos theta. Então, para cada theta, r varia de 1 até 1 + cos theta.
  • Para z: O cilindro vai do plano base até o topo no plano z = 4. Portanto, z varia de 0 a 4.

Passo 3

Agora que temos os limites, vamos montar a integral iterada. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dz , r , dr , dtheta. Portanto, a integral fica assim:
integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^1 + cos theta integral0^4 f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta

Resposta

A integral tripla iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta sobre a região D é:
integral0^2pi integral1^1 + cos theta integral0^4 f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta

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