Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular sobre a região dada.
15. é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência no plano e cujo topo está no plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para montarmos a integral iterada de três integrais para calcular sobre a região . A região é um cilindro circular reto com a base dada pela circunferência no plano e o topo no plano . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e entender os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para . A equação descreve uma circunferência no plano , que é equivalente a quando . Isso significa que varia de a , cobrindo toda a circunferência.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . A equação nos dá o raio máximo para cada . Então, varia de até .

Passo 4

Por último, vamos definir os limites para . O topo do cilindro está no plano . Em coordenadas cilíndricas, , então varia de (base do cilindro) até .

Resposta

A integral iterada fica:

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Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular sobre a região dada.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano que está dentro da cardioide e fora da circunferência e cujo topo está no plano .
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
37. O sólido delimitado abaixo pela esfera e acima pelo cone
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região .
Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)