Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular integral triplaD f(r, theta, z) d z r d r d theta sobre a região D dada.
15. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r= 2 sen theta no plano x y e cujo topo está no plano z=4-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para montarmos a integral iterada de três integrais para calcular integral triplaD f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta sobre a região D. A região D é um cilindro circular reto com a base dada pela circunferência no plano r = 2 sen theta e o topo no plano xy. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e entender os limites de integração para z = 4 - y, r e theta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para theta. A equação descreve uma circunferência no plano r = 2 sen theta, que é equivalente a xy quando . Isso significa que y = 1 varia de r = 2 sen theta a theta, cobrindo toda a circunferência.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para r. A equação nos dá o raio máximo para cada r = 2 sen theta. Então, theta varia de r até .

Passo 4

Por último, vamos definir os limites para z. O topo do cilindro está no plano z = 4 - y. Em coordenadas cilíndricas, , então y = r sen theta varia de z (base do cilindro) até .

Resposta

A integral iterada fica:

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