Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
17. , de até

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva dada pela equação , indo do ponto até . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é a equação de uma hipérbole. Para encontrar o comprimento do arco entre dois pontos específicos, precisamos parametrizar a curva ou expressar uma variável em termos da outra.

Passo 3

Observando os pontos e , vemos que o valor de é constante, . Isso significa que vamos mover verticalmente ao longo da hipérbole de até .

Passo 4

Para achar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 5

Vamos derivar em relação a . A equação da hipérbole é . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

No nosso caso, é constante. Então,

Passo 7

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:

Passo 8

Agora, faremos a integral:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 9

Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. Contudo, como é constante, a distância vertical entre os pontos é simplesmente:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre os pontos e é .

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