Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
17.
, de
até
17.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva dada pela equação
, indo do ponto
até
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula de comprimento de arco para curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é a equação de uma hipérbole. Para encontrar o comprimento do arco entre dois pontos específicos, precisamos parametrizar a curva ou expressar uma variável em termos da outra.
Passo 3
Observando os pontos
e
, vemos que o valor de
é constante,
. Isso significa que vamos mover verticalmente ao longo da hipérbole de
até
.
Passo 4
Para achar o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
. A equação da hipérbole é
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
No nosso caso,
é constante. Então,
Passo 7
Substituindo
na fórmula do comprimento do arco:
Passo 8
Agora, faremos a integral:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 9
Essa integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. Contudo, como
é constante, a distância vertical entre os pontos é simplesmente:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre os pontos
e
é
.
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-
e .
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
24. e
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15.
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