Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
24. x = y^2 + 1 e x + y = 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre duas curvas: e . Vamos usar cálculo, especificamente integrais, pra resolver isso. Para isso, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a integral entre esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com os valores de encontrados, vamos determinar os valores correspondentes de usando uma das equações. Vamos usar :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Observando as equações:
Para facilitar, vamos expressar ambas como funções de :
Comparando os valores, vemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença entre a função superior e a inferior, no intervalo de integração. Então:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Avaliada de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os resultados:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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