Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
24.
e
24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre duas curvas:
e
. Vamos usar cálculo, especificamente integrais, pra resolver isso. Para isso, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a integral entre esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de interseção das curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com os valores de
encontrados, vamos determinar os valores correspondentes de
usando uma das equações. Vamos usar
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de
a
. Observando as equações:
Para facilitar, vamos expressar ambas como funções de
:
Comparando os valores, vemos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença entre a função superior e a inferior, no intervalo de integração. Então:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Avaliada de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
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, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
5. e
5.
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16. , de
até
16.
-
e .
Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
17. , de
até
17.