Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
lim x +infty x(raizx^2+1-2 x)

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite . Estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente envolvendo funções que crescem sem limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e termos que tendem ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que pode ser reescrito para facilitar a manipulação quando tende ao infinito.

Passo 3

Podemos fatorar raizx^2 + 1 = raizx^2(1 + 1x^2) = xraiz1 + 1x^2 dentro da raiz:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
x(raizx^2+1 - 2x) = x( xraiz1 + 1x^2 - 2x ) = x^2( raiz1 + 1x^2 - 2 )

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de raiz1 + 1x^2 approx 1 + 12x^2 quando tende ao infinito. Sabemos que tende a zero, então:
(como uma aproximação de Taylor para binômios próximos a 1)

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão:
x^2( 1 + 12x^2 - 2 ) = x^2( -1 + 12x^2 ) = -x^2 + 12

Passo 7

Agora, ao calcular o limite:
limx +infty ( -x^2 + 12 ) = -infty

Resposta

O limite é .

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