Utilize os limites fundamentais para calcular: lim x 1 1-cos (x-1)x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o limite quando limx 1 1 - cos(x - 1)x^2 - 1 se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e limites fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de certos pontos e usar algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando 1 - cos(1 - 1)1^2 - 1 = 1 - cos(0)0 = 1 - 10 = 00 se aproxima de 1. Substituindo na expressão, vemos que tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero:
Isso é um indeterminado 0/0, então não podemos concluir o valor do limite diretamente. Mas não se preocupa, temos um jeito de resolver isso!

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como ddx[1 - cos(x - 1)] = sin(x - 1) , uma técnica útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite de ddx[x^2 - 1] = 2x limx 1 sin(x - 1)2x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos verificar o que acontece agora quando sin(1 - 1)2 times 1 = sin(0)2 = 02 = 0 se aproxima de 1 na nova expressão:
Então, o limite dessa nova expressão é 0.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados