Utilize os limites fundamentais para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem o limite quando
se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e limites fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de certos pontos e usar algumas regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Substituindo
na expressão, vemos que tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero:
Isso é um indeterminado 0/0, então não podemos concluir o valor do limite diretamente. Mas não se preocupa, temos um jeito de resolver isso!
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite de
dá
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos verificar o que acontece agora quando
se aproxima de 1 na nova expressão:
Então, o limite dessa nova expressão é 0.
Resposta
O limite é igual a
.