Usando polinômios de Taylor calcule cos(1) com erro em módulo inferior a 10^(-4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o valor de usando polinômios de Taylor, garantindo que o erro seja menor que 10^(-4). Ou seja, queremos uma aproximação bem certinha de . Para isso, vamos precisar entender como os polinômios de Taylor funcionam e como aplicá-los para aproximar funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, vamos desenvolver a série de Taylor do em torno de x = 0 (série de Maclaurin).
A fórmula geral da série de Taylor para é:
Isso significa que podemos aproximar somando os primeiros termos dessa série até que o erro seja menor que 10^(-4).

Passo 3

Vamos calcular os termos da série um a um e verificar o erro a cada passo. Nosso objetivo é encontrar o menor número de termos necessários para que o próximo termo seja menor que 10^(-4), o que garantirá que o erro total seja menor que esse valor.
Vamos começar com n = 0:
Agora, n = 1:
Somando os dois termos:
Vamos ver o próximo termo para verificar o erro:
Para n = 2:
Como esse termo ainda é maior que 10^(-4), precisamos continuar.

Passo 4

Vamos calcular o terceiro termo ( n = 3):
Somando todos os termos até agora:
O próximo termo para n = 4 é:
Esse termo é aproximadamente , que é menor que 10^(-4). Portanto, podemos parar aqui, pois o erro será menor que 10^(-4).

Resposta

Aproximando usando polinômios de Taylor com erro menor que 10^(-4), obtemos:

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