Usando polinômios de Taylor calcule
com erro em módulo inferior a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o valor de
usando polinômios de Taylor, garantindo que o erro seja menor que
. Ou seja, queremos uma aproximação bem certinha de
. Para isso, vamos precisar entender como os polinômios de Taylor funcionam e como aplicá-los para aproximar funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, vamos desenvolver a série de Taylor do
em torno de
(série de Maclaurin).
A fórmula geral da série de Taylor para
é:
Isso significa que podemos aproximar
somando os primeiros termos dessa série até que o erro seja menor que
.
Passo 3
Vamos calcular os termos da série um a um e verificar o erro a cada passo. Nosso objetivo é encontrar o menor número de termos necessários para que o próximo termo seja menor que
, o que garantirá que o erro total seja menor que esse valor.
Vamos começar com
:
Agora,
:
Somando os dois termos:
Vamos ver o próximo termo para verificar o erro:
Para
:
Como esse termo ainda é maior que
, precisamos continuar.
Passo 4
Vamos calcular o terceiro termo (
):
Somando todos os termos até agora:
O próximo termo para
é:
Esse termo é aproximadamente
, que é menor que
. Portanto, podemos parar aqui, pois o erro será menor que
.
Resposta
Aproximando
usando polinômios de Taylor com erro menor que
, obtemos: