Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador e depois usar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Observamos que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são polinômios de segundo grau). Nesse caso, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo
por
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos focar na segunda integral:
.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a fração como uma soma de frações parciais:
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
de volta na fração parcial:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.