Resolva as integrais: integral x^2x^2+x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador e depois usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^2x^2 + x - 6 = 1 + -x + 6x^2 + x - 6 . Observamos que o grau do numerador e do denominador é o mesmo (ambos são polinômios de segundo grau). Nesse caso, podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo integral x^2x^2+x-6 , dx = integral (1 + -x + 6x^2 + x - 6) , dx por :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dx + integral -x + 6x^2 + x - 6 , dx
A primeira integral é simples:
integral 1 , dx = x + C
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos focar na segunda integral: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) .
Primeiro, fatoramos o denominador:
-x + 6(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2
Então, reescrevemos a fração como uma soma de frações parciais:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de -x + 6 = A(x - 2) + B(x + 3) e -2 + 6 = A(0) + B(5) Rightarrow 4 = 5B Rightarrow B = 45 . Multiplicamos ambos os lados por 3 + 6 = A(-5) + B(0) Rightarrow 9 = -5A Rightarrow A = -95 :
Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 6

Agora, substituímos -x + 6(x + 3)(x - 2) = -95x + 3 + 45x - 2 = -95cdot1x + 3 + 45cdot1x - 2 e integral (-95cdot1x + 3 + 45cdot1x - 2) , dx = -95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C de volta na fração parcial:
Então, a integral fica:

Resposta

A integral x - 95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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