F_{n+1} * F_{n-1} - F_{n}^2 = (-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que , onde é o n-ésimo número de Fibonacci. Isso faz parte do estudo das sequências de Fibonacci e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números de Fibonacci se relacionam entre si e usar um método de prova, como a indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidos os números de Fibonacci. A sequência começa com e , e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:
Essa definição é fundamental para a gente manipular as relações entre os termos da sequência.

Passo 3

Vamos usar a técnica de indução matemática para provar a igualdade. A indução tem dois passos: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 4

Base da Indução: Vamos verificar se a igualdade funciona para .
E, por outro lado,
Então, para , a igualdade é verdadeira.

Passo 5

Passo Indutivo: Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para algum , ou seja:
Queremos provar que ela também vale para :
Simplificando os índices:

Passo 6

Vamos expressar usando a definição de Fibonacci:
Substituindo na expressão que queremos provar:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos reescrever a expressão:
Mas sabemos que , então podemos substituir e simplificar, eventualmente utilizando a hipótese de indução . Após as substituições e simplificações, chegamos a:
Assim, a igualdade vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que para todo número natural .

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