Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
, onde
é o n-ésimo número de Fibonacci. Isso faz parte do estudo das sequências de Fibonacci e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender como os números de Fibonacci se relacionam entre si e usar um método de prova, como a indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidos os números de Fibonacci. A sequência começa com
e
, e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:
Essa definição é fundamental para a gente manipular as relações entre os termos da sequência.
Passo 3
Vamos usar a técnica de indução matemática para provar a igualdade. A indução tem dois passos: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 4
Base da Indução: Vamos verificar se a igualdade funciona para
.
E, por outro lado,
Então, para
, a igualdade é verdadeira.
Passo 5
Passo Indutivo: Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para algum
, ou seja:
Queremos provar que ela também vale para
:
Simplificando os índices:
Passo 6
Vamos expressar
usando a definição de Fibonacci:
Substituindo na expressão que queremos provar:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a expressão:
Mas sabemos que
, então podemos substituir e simplificar, eventualmente utilizando a hipótese de indução
. Após as substituições e simplificações, chegamos a:
Assim, a igualdade vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que
para todo número natural
.