Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um de0 correspondente a qualquer epsilon>0, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
lim (x, y) (-2,1)(5 x+4 y)=-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que estabelecer o limite de quando se aproxima de e mostrar que ele é igual a . Para isso, vamos usar a Definição 16.2.5 de limite, que basicamente diz que para qualquer , precisamos encontrar um tal que se a distância entre e for menor que , então a diferença entre e seja menor que . Vamos precisar usar algumas propriedades de desigualdades e manipulações algébricas para achar esse .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos mostrar. Queremos que:
|5x + 4y - (-6)| < epsilon
Simplificando isso:
|5x + 4y + 6| < epsilon
Agora, vamos expressar 5x + 4y + 6 = 5(x + 2) + 4(y - 1) em termos de 5(x + 2) + 4(y - 1) = 5x + 10 + 4y - 4 = 5x + 4y + 6 e |5(x + 2) + 4(y - 1)| < epsilon , já que está se aproximando de . Para isso, faremos uma pequena reescrita:
Isso porque:
Então, nossa desigualdade fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a desigualdade triangular, que nos permite separar a soma dentro do valor absoluto:
|5(x + 2) + 4(y - 1)| <= |5(x + 2)| + |4(y - 1)| = 5|x + 2| + 4|y - 1|
Então, queremos que:
5|x + 2| + 4|y - 1| < epsilon

Passo 4

Para simplificar, vamos encontrar um de que limite tanto quanto . Vamos definir como sendo o mínimo entre e algum valor que mantenha próximo de . Mas para facilitar, podemos assumir que , o que nos ajuda a controlar ambas as variáveis.
Então, vamos definir:
Isso porque , e queremos que .

Passo 5

Agora, assumindo que |x + 2| < de, temos que:
5|x + 2| + 4|y - 1| < 5de
Substituindo na desigualdade anterior:
Assim, mostramos que sempre que a distância entre e for menor que , a diferença será menor que .

Resposta

Portanto, para qualquer raiz(x + 2)^2 + (y - 1)^2 < de, podemos escolher lim (x, y) (-2,1) (5x + 4y) = -6 . Com esse , garantimos que:
Isso valida a Definição 16.2.5, confirmando que:

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