Exercícios de 9 a 16, estabeleça o limite, encontrando um
correspondente a qualquer
, tal que a Definição 16.2.5 seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que estabelecer o limite de
quando
se aproxima de
e mostrar que ele é igual a
. Para isso, vamos usar a Definição 16.2.5 de limite, que basicamente diz que para qualquer
, precisamos encontrar um
tal que se a distância entre
e
for menor que
, então a diferença entre
e
seja menor que
. Vamos precisar usar algumas propriedades de desigualdades e manipulações algébricas para achar esse
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos mostrar. Queremos que:
Simplificando isso:
Agora, vamos expressar
em termos de
e
, já que
está se aproximando de
. Para isso, faremos uma pequena reescrita:
Isso porque:
Então, nossa desigualdade fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a desigualdade triangular, que nos permite separar a soma dentro do valor absoluto:
Então, queremos que:
Passo 4
Para simplificar, vamos encontrar um
que limite tanto
quanto
. Vamos definir
como sendo o mínimo entre
e algum valor que mantenha
próximo de
. Mas para facilitar, podemos assumir que
, o que nos ajuda a controlar ambas as variáveis.
Então, vamos definir:
Isso porque
, e queremos que
.
Passo 5
Agora, assumindo que
, temos que:
Substituindo na desigualdade anterior:
Assim, mostramos que sempre que a distância entre
e
for menor que
, a diferença
será menor que
.
Resposta
Portanto, para qualquer
, podemos escolher
. Com esse
, garantimos que:
Isso valida a Definição 16.2.5, confirmando que: