lim (x, y) (0.1) x^4-(y-1)^4x^2+(y-1)^2

Passo 1

Então, a gente tem um limite que envolve duas variáveis, e , e queremos descobrir o que acontece com a expressão quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e simplificar a expressão para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que x^4 - u^4x^2 + u^2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para facilitar, podemos fazer uma substituição: seja . Assim, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. A expressão fica então:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador. Lembrando que x^4 - u^4 = (x^2 - u^2)(x^2 + u^2) pode ser fatorado como (x^2 - u^2)(x^2 + u^2)x^2 + u^2 = x^2 - u^2 . Aplicando isso:
Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 4

Com a expressão simplificada para lim(x, u) to (0, 0) (x^2 - u^2) = 0^2 - 0^2 = 0 , agora podemos calcular o limite quando e se aproximam de 0:

Resposta

O limite é igual a .

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