Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série
e precisamos usar o teste da raiz para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite que ele nos pede.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. Ele funciona calculando o limite da n-ésima raiz do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Se
,
- Se L < 1, a série converge.
- Se L > 1, a série diverge.
- Se L = 1, o teste não dá uma resposta definitiva (é inconclusivo).
No nosso caso, o termo geral da série é
.
Passo 3
Vamos calcular a n-ésima raiz de
:
Isso simplifica para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
Passo 5
De acordo com o teste da raiz, se o limite L é menor que 1, a série converge. No nosso caso, L = 0, que é menor que 1.
Resposta
A série
converge.
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Assinale a alternativa INCORRETA.
(b) A solução do PVI e
é
;
(b) A solução do PVI