Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty 4^n(3 n)^n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a série sumn=1^infty 4^n(3 n)^n e precisamos usar o teste da raiz para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite que ele nos pede.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. Ele funciona calculando o limite da n-ésima raiz do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Se limn to infty raiz[n]|an| = L,
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá uma resposta definitiva (é inconclusivo).
No nosso caso, o termo geral da série é an = 4^n(3n)^n.

Passo 3

Vamos calcular a n-ésima raiz de |an|:
raiz[n]an = raiz[n]4^n(3n)^n = raiz[n]4^nraiz[n](3n)^n = 43n
Isso simplifica para 43n.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 43n = 0

Passo 5

De acordo com o teste da raiz, se o limite L é menor que 1, a série converge. No nosso caso, L = 0, que é menor que 1.

Resposta

A série sumn=1^infty 4^n(3 n)^n converge.

Exercícios relacionados