Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty 7(2 n+5)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita usando o Teste da Raiz. A série que temos é:
sumn=1^infty 7(2n+5)^n
O Teste da Raiz nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge, examinando o limite da raiz enésima do termo geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 7(2n+5)^n
O Teste da Raiz diz que devemos calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
L = limn to infty raiz[n]|7(2n+5)^n| = limn to infty raiz[n]72n+5
Sabemos que raiz[n]7 = 7^1/n, e conforme n cresce, 7^1/n tende a 1. Então:
L = limn to infty 12n+5 = 0

Passo 4

Agora, interpretamos o valor de L:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 0, que é menor que 1. Portanto, pela análise acima, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 7(2n+5)^n converge pelo Teste da Raiz.

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