Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2(n+2)!n!3^2 n

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisamos usar o teste da razão para descobrir se ela converge ou diverge. Basicamente, o teste da razão ajuda a gente a ver como os termos da série se comportam conforme fica grande, facilitando a decisão sobre a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da razão. Ele diz que para uma série , calculamos o limite . Se:
  • : a série converge.
  • : a série diverge.
  • : o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n^2(n+2)!n!3^2 n da nossa série:
an+1 = (n+1)^2(n+3)!(n+1)!3^2 (n+1)
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)^2(n+3)!(n+1)!3^2 (n+1) times n!3^2 nn^2(n+2)! :

Passo 5

Simplificamos os fatoriais:
(n+3)!(n+2)! = n+3 (n+1)!n! = n+1
Portanto:
an+1an = (n+1)^2(n+3)(n+1)3^2 = (n+1)(n+3)3^2 = (n+1)(n+3)9

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (n+1)(n+3)9 = limn to infty n^2 + 4n + 39 = infty tende ao infinito:

Passo 7

Como , pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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