Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma série infinita e precisamos usar o teste da razão para descobrir se ela converge ou diverge. Basicamente, o teste da razão ajuda a gente a ver como os termos da série se comportam conforme fica grande, facilitando a decisão sobre a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da razão. Ele diz que para uma série , calculamos o limite . Se:
: a série converge.
: a série diverge.
: o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar an = n^2(n+2)!n!3^2 n da nossa série:
an+1 = (n+1)^2(n+3)!(n+1)!3^2 (n+1)
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos montar a razão an+1an = (n+1)^2(n+3)!(n+1)!3^2 (n+1) times n!3^2 nn^2(n+2)! :