Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita:
E a missão é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando o limite da razão entre um termo qualquer e o termo anterior quando tende ao infinito.
A regra é simples:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se o limite for igual a 1, o teste não consegue nos dizer nada.
Passo 3
Vamos identificar o nosso termo geral :
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos formar a razão :
Simplificando os termos, temos:
Passo 5
Agora vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Vamos analisar cada parte separadamente:
tende a 1.
também tende a 1.
tende a 1, já que os logaritmos crescem de forma semelhante.
Portanto, o limite simplifica para:
Resposta
Como o limite é , que é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série diverge.