Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita:
E a missão é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando o limite da razão entre um termo qualquer e o termo anterior quando tende ao infinito.
A regra é simples:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se o limite for igual a 1, o teste não consegue nos dizer nada.
Passo 3
Vamos identificar o nosso termo geral an = n cdot 5^n(2n+3) ln (n+1):
Agora vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty | an+1an | = limn to infty 5 cdot n+1n cdot 2n+32n+5 cdot ln (n+1)ln (n+2) tende ao infinito:
5 cdot 1 cdot 1 cdot 1 = 5
Vamos analisar cada parte separadamente:
tende a 1.
também tende a 1.
tende a 1, já que os logaritmos crescem de forma semelhante.
Portanto, o limite simplifica para:
Resposta
Como o limite é , que é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série diverge.