Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty n 5^n(2 n+3) ln (n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita:
sumn=1^infty n cdot 5^n(2n+3) ln (n+1)
E a missão é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão. Para isso, precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando o limite da razão entre um termo qualquer e o termo anterior quando tende ao infinito.
A regra é simples:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste não consegue nos dizer nada.

Passo 3

Vamos identificar o nosso termo geral an = n cdot 5^n(2n+3) ln (n+1):
an+1 = (n+1) cdot 5^n+1(2(n+1)+3) ln ((n+1)+1) = (n+1) cdot 5^n+1(2n+5) ln (n+2)
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1) cdot 5^n+1(2n+5) ln (n+2) cdot (2n+3) ln (n+1)n cdot 5^n:
an+1an = 5 cdot n+1n cdot 2n+32n+5 cdot ln (n+1)ln (n+2)
Simplificando os termos, temos:

Passo 5

Agora vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty | an+1an | = limn to infty 5 cdot n+1n cdot 2n+32n+5 cdot ln (n+1)ln (n+2) tende ao infinito:
5 cdot 1 cdot 1 cdot 1 = 5
Vamos analisar cada parte separadamente:
  • tende a 1.
  • também tende a 1.
  • tende a 1, já que os logaritmos crescem de forma semelhante.
Portanto, o limite simplifica para:

Resposta

Como o limite é , que é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série diverge.

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