Se f(x) = a x^3 + b x^2, determine a e b, de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar os valores de e na função de modo que o gráfico dela tenha um ponto de inflexão em . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, a segunda derivada muda de sinal. Para encontrar esse ponto, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada:

Passo 5

Sabemos que no ponto de inflexão , a segunda derivada é zero. Então, substituímos em :

Passo 6

Além disso, como o ponto está na função, substituímos e na função original:

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 8

Podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:

Passo 9

Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 10

Agora, substituímos na segunda equação:

Resposta

Os valores são e .

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