Se
, determine
e
, de forma que o gráfico de
tenha um ponto de inflexão em (1, 2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar os valores de
e
na função
de modo que o gráfico dela tenha um ponto de inflexão em
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, a segunda derivada muda de sinal. Para encontrar esse ponto, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
Sabemos que no ponto de inflexão
, a segunda derivada é zero. Então, substituímos
em
:
Passo 6
Além disso, como o ponto
está na função, substituímos
e
na função original:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 8
Podemos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:
Passo 9
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 10
Agora, substituímos
na segunda equação:
Resposta
Os valores são
e
.