Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
F(x) = { x^3 se x < 0, x^4 se 0 <= x }

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o ponto de inflexão da função dada, além de determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Também vamos fazer um esboço do gráfico. A função que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas, concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é ponto de inflexão: é um ponto no gráfico onde a concavidade muda, ou seja, de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada em cada intervalo da função.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada em cada intervalo.
Para :
Para :

Passo 5

Em seguida, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal, o que indicaria um ponto de inflexão.
Para :
  • Se , então (negativo).
Para :
  • é sempre não negativo, então .

Passo 6

Observamos que a segunda derivada muda de negativa para positiva em . Isso indica que há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, determinamos onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
  • Côncavo para baixo: onde .
    • Isso ocorre para .
  • Côncavo para cima: onde .
    • Isso ocorre para .
Em , a concavidade muda, confirmando o ponto de inflexão.

Passo 8

Por fim, fazemos um esboço do gráfico. Para , a função é um polinômio cúbico , que é côncavo para baixo. Para , a função é um polinômio de quarto grau , que é côncavo para cima. O ponto é onde ocorre a mudança de concavidade.

Resposta

O ponto de inflexão ocorre em . O gráfico é côncavo para baixo quando e côncavo para cima quando .

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