Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o ponto de inflexão da função dada, além de determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Também vamos fazer um esboço do gráfico. A função que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas, concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é ponto de inflexão: é um ponto no gráfico onde a concavidade muda, ou seja, de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada
em cada intervalo da função.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
em cada intervalo.
Para
:
Para
:
Passo 5
Em seguida, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal, o que indicaria um ponto de inflexão.
Para
:
- Se
, então (negativo).
Para
:
-
é sempre não negativo, então .
Passo 6
Observamos que a segunda derivada muda de negativa para positiva em
. Isso indica que há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, determinamos onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
-
Côncavo para baixo: onde
. - Isso ocorre para
.
- Isso ocorre para
-
Côncavo para cima: onde
. - Isso ocorre para
.
- Isso ocorre para
Em
, a concavidade muda, confirmando o ponto de inflexão.
Passo 8
Por fim, fazemos um esboço do gráfico. Para
, a função é um polinômio cúbico
, que é côncavo para baixo. Para
, a função é um polinômio de quarto grau
, que é côncavo para cima. O ponto
é onde ocorre a mudança de concavidade.
Resposta
O ponto de inflexão ocorre em
. O gráfico é côncavo para baixo quando
e côncavo para cima quando
.