Nos Exercícios 17-24, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
20.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas: . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como o método da substituição ou o método da eliminação de Gauss. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Observamos que podemos simplificar esse sistema usando o método de eliminação para reduzir o número de variáveis em cada equação.
Passo 3
Vamos começar isolando uma variável em uma das equações mais simples. Na equação (1), podemos expressar v = -3w + 2x (5) em termos de e :
Isso facilita, pois agora podemos substituir nas outras equações para eliminar uma variável.
Passo 4
Substituindo a equação (5) na equação (2):
2u + (-3w + 2x) - 4w + 3x = 0
Simplificando:
2u - 7w + 5x = 0 (6)
Agora, fazemos o mesmo para a equação (3):
2u + 3(-3w + 2x) + 2w - x = 0
Simplificando:
2u - 9w + 6x + 2w - x = 0 2u - 7w + 5x = 0 (7)
Interessante, a equação (6) e (7) resultam na mesma equação. Isso significa que uma das equações é dependente das outras.
Vamos resolver esse novo sistema de duas equações com duas incógnitas 4u - 14w + 10x = 0 (9) . Podemos multiplicar a equação (6) por 2 para facilitar a eliminação:
Isso indica que as equações são múltiplas e não conseguimos determinar valores únicos para a partir delas. Portanto, o sistema tem infinitas soluções dependentes de um parâmetro.
Passo 7
Vamos considerar que 2u - 7w + 5t = 0 2u = 7w - 5t u = 7w - 5t2 seja um parâmetro livre, digamos u = 7(at) - 5t2 = 7a - 52 t . Então, podemos expressar v = -3w + 2x = -3(at) + 2t = (-3a + 2) t em termos de usando a equação (6):
Mas ainda precisamos relacionar com . Como não há restrições adicionais, podemos expressar também em termos de . Por simplicidade, vamos assumir , onde é uma constante.
Substituindo na expressão para :
Agora, lembrando da equação (5):
Passo 8
Portanto, todas as variáveis podem ser expressas em termos de u = 7a - 52 t v = (-3a + 2) t w = at x = t :
u = 7(1) - 52 t = t v = (-3(1) + 2) t = -t w = t x = t
Como é uma constante livre, podemos escolher um valor para simplificar. Por exemplo, se escolhermos :
Resposta
As soluções do sistema podem ser expressas em termos de um parâmetro u = t v = -t w = t x = t , onde t in R :