Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 definida por partes:
E a gente precisa encontrar o conjunto imagem de no intervalo , ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos calcular todos os possíveis valores que pode assumir quando varia de 1 a 3. Para isso, precisamos analisar cada parte da função dentro desse intervalo.
Passo 3
Observando a definição de , vemos que para entre 1 e 3, temos duas situações:
Para , a função é .
Para , a função é .
Vamos resolver cada uma dessas partes separadamente.
Aqui, usamos g(2) = raiz2 + 1 = raiz3 approx 1,732 . Para encontrar os valores de , vamos calcular o mínimo e o máximo dessa expressão nesse intervalo.
Quando :
Quando :
Então, para , varia de aproximadamente 1,414 até 1,732.
Passo 5
Segunda parte: g(2,1) = 12,1 - 2 = 10,1 = 10
Agora, usamos g(3) = 13 - 2 = 1 . Vamos analisar como essa expressão se comporta nesse intervalo.
Quando se aproxima de 2 por valores maiores (tipo ):
E quanto mais próximo de 2, maior o valor de , tendendo ao infinito.
Quando :
Então, para , diminui de até 1.
Passo 6
Unindo as duas partes:
De a , varia de aproximadamente 1,414 até 1,732.
De a , varia de até 1.
Quando combinamos esses intervalos, percebemos que cobre todos os valores a partir de 1 até o infinito.