Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g([1,3])

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 definida por partes:
E a gente precisa encontrar o conjunto imagem de no intervalo , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos calcular todos os possíveis valores que pode assumir quando varia de 1 a 3. Para isso, precisamos analisar cada parte da função dentro desse intervalo.

Passo 3

Observando a definição de , vemos que para entre 1 e 3, temos duas situações:
  1. Para , a função é .
  2. Para , a função é .
Vamos resolver cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

Primeira parte: g(1) = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Aqui, usamos g(2) = raiz2 + 1 = raiz3 approx 1,732 . Para encontrar os valores de , vamos calcular o mínimo e o máximo dessa expressão nesse intervalo.
  • Quando :
  • Quando :
Então, para , varia de aproximadamente 1,414 até 1,732.

Passo 5

Segunda parte: g(2,1) = 12,1 - 2 = 10,1 = 10
Agora, usamos g(3) = 13 - 2 = 1 . Vamos analisar como essa expressão se comporta nesse intervalo.
  • Quando se aproxima de 2 por valores maiores (tipo ):
    E quanto mais próximo de 2, maior o valor de , tendendo ao infinito.
  • Quando :
Então, para , diminui de até 1.

Passo 6

Unindo as duas partes:
  • De a , varia de aproximadamente 1,414 até 1,732.
  • De a , varia de até 1.
Quando combinamos esses intervalos, percebemos que cobre todos os valores a partir de 1 até o infinito.

Resposta

O conjunto imagem é .

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