Nos Exercícios 17-24, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
$ I_{1} \quad-2 I_{3}+7 I_{4}=11$
I1 -2 I3+7 I4=11
3 I1-3 I2+I3+5 I4=8
2 I1+I2+4 I3+4 I4=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que envolve as variáveis e . A gente vai usar métodos de eliminação para chegar numa solução. Isso significa que vamos combinar as equações para eliminar algumas variáveis e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever todas as equações para facilitar nossa visão:
Z3 + Z4 + Z5 = 0 (Equação 1) -Z1 - Z2 + 2Z3 - 3Z4 + Z5 = 0 (Equação 2) Z1 + Z2 - 2Z3 - Z5 = 0 (Equação 3) 2Z1 + 2Z2 - Z3 + Z5 = 0 (Equação 4) çãçãçãçã

Passo 3

Vamos começar simplificando a Equação 1 para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos expressar Z3 = -Z4 - Z5 em função de e :
Isso vai nos ajudar a substituir nas outras equações.

Passo 4

Agora, vamos substituir -Z1 - Z2 + 2(-Z4 - Z5) - 3Z4 + Z5 = 0 -Z1 - Z2 - 2Z4 - 2Z5 - 3Z4 + Z5 = 0 -Z1 - Z2 - 5Z4 - Z5 = 0 nas Equação 2, Equação 3 e Equação 4:
Equação 2:
Z1 + Z2 - 2(-Z4 - Z5) - Z5 = 0 Z1 + Z2 + 2Z4 + 2Z5 - Z5 = 0 Z1 + Z2 + 2Z4 + Z5 = 0
Equação 3:
2Z1 + 2Z2 - (-Z4 - Z5) + Z5 = 0 2Z1 + 2Z2 + Z4 + Z5 + Z5 = 0 2Z1 + 2Z2 + Z4 + 2Z5 = 0
Equação 4:

Passo 5

Agora temos um sistema simplificado com três equações e quatro variáveis:
-Z1 - Z2 - 5Z4 - Z5 = 0 (Equação 2') Z1 + Z2 + 2Z4 + Z5 = 0 (Equação 3') 2Z1 + 2Z2 + Z4 + 2Z5 = 0 (Equação 4') çãçãçã
Vamos somar a Equação 2’ e a Equação 3’ para eliminar (-Z1 - Z2 - 5Z4 - Z5) + (Z1 + Z2 + 2Z4 + Z5) = 0 + 0 (-5Z4) + (2Z4) + (-Z5) + (Z5) = 0 -3Z4 = 0 Z4 = 0 e :

Passo 6

Com Z3 = -Z4 - Z5 = -0 - Z5 = -Z5 , vamos voltar para a Equação 1 para encontrar :
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos Z1 + Z2 + 2(0) + Z5 = 0 Z1 + Z2 + Z5 = 0 (Equação 3'') na Equação 3’:
2Z1 + 2Z2 + 0 + 2Z5 = 0 2Z1 + 2Z2 + 2Z5 = 0 Z1 + Z2 + Z5 = 0 (dividindo por 2) çã
E na Equação 4’:
Percebeu que a Equação 4’ simplificada dá a mesma coisa que a Equação 3’’. Isso significa que não temos mais informações novas, mas podemos definir uma variável livre.

Passo 8

Como temos uma variável extra, vamos escolher como variável livre. Vamos chamá-la de , onde pode ser qualquer número real.
Então, .
Agora, (já que ).

Passo 9

Voltando para a Equação 3’’:
Z1 + Z2 + t = 0 Z1 + Z2 = -t
Podemos escolher outra variável livre, por exemplo, , onde é qualquer número real.
Então, .
Então, .

Passo 10

Recapitulando todas as variáveis:
Z1 = s Z2 = -t - s Z3 = -t Z4 = 0 Z5 = t
Onde e são quaisquer números reais.

Resposta

A solução do sistema é:
Z1 = s Z2 = -s - t Z3 = -t Z4 = 0 Z5 = t
onde e são números reais quaisquer.

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