Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g([-1,8])

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a imagem do intervalo pela função . A função está definida por partes, dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e aplicar conceitos de imagem de funções em intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os diferentes casos da função g(x) = x^3 - 2, & se x <= 0 raizx + 1, & se 0 < x <= 2 1x - 2, & se x > 2 :
Vamos analisar cada intervalo separadamente dentro do intervalo .

Passo 3

Para dentro de :
A função é .
Vamos calcular os valores de nos extremos:
  • Em :
  • Em :
Como é uma função crescente, dentro de , varia de a .

Passo 4

Para :
A função é .
Vamos calcular os valores de nos extremos:
  • Em :
  • Em :
A função também é crescente, então dentro de , varia de a aproximadamente .

Passo 5

Para dentro de :
A função é .
Vamos analisar o comportamento dessa função:
  • À medida que se aproxima de pelo lado direito, tende ao infinito positivo.
  • Em :
Portanto, nessa faixa, diminui de até aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos juntar todas as imagens obtidas:
  • De a :
  • De a :
  • De a : , mas como estamos até , consideramos

Passo 7

Finalmente, combinando todas as imagens, temos que:
g([-1, 8]) = [-3, -2] cup [1, raiz3] cup (0, 16]

Resposta

A imagem de g([-1, 8]) = [-3, -2] cup [1, raiz3] cup (0, 16] pela função é:

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