Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a imagem do intervalo pela função . A função está definida por partes, dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e aplicar conceitos de imagem de funções em intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os diferentes casos da função g(x) = x^3 - 2, & se x <= 0 raizx + 1, & se 0 < x <= 2 1x - 2, & se x > 2 :
Vamos analisar cada intervalo separadamente dentro do intervalo .
Passo 3
Para dentro de :
A função é .
Vamos calcular os valores de nos extremos:
Em :
Em :
Como é uma função crescente, dentro de , varia de a .
Passo 4
Para :
A função é .
Vamos calcular os valores de nos extremos:
Em :
Em :
A função também é crescente, então dentro de , varia de a aproximadamente .
Passo 5
Para dentro de :
A função é .
Vamos analisar o comportamento dessa função:
À medida que se aproxima de pelo lado direito, tende ao infinito positivo.
Em :
Portanto, nessa faixa, diminui de até aproximadamente .
Passo 6
Agora, vamos juntar todas as imagens obtidas:
De a :
De a :
De a : , mas como estamos até , consideramos
Passo 7
Finalmente, combinando todas as imagens, temos que:
g([-1, 8]) = [-3, -2] cup [1, raiz3] cup (0, 16]
Resposta
A imagem de g([-1, 8]) = [-3, -2] cup [1, raiz3] cup (0, 16] pela função é: