Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s ou partial w / partial t.
(f) w=tan (u / v), u=2 s+3 t, v=3 s-2 t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar . Aqui, temos , onde e . Vamos precisar entender como derivar funções compostas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos que partial wpartial t = partial wpartial u cdot partial upartial t + partial wpartial v cdot partial vpartial t é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Para encontrar , vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. w = tan(uv) implies partial wpartial u = sec^2(uv) cdot 1v :
    partial wpartial v = sec^2(uv) cdot (-uv^2)
    Aqui, usamos a derivada da tangente, que é u = 2s + 3t implies partial upartial t = 3 , multiplicada pela derivada interna v = 3s - 2t implies partial vpartial t = -2 .
  2. :
    Novamente, aplicamos a derivada da tangente. A derivada interna aqui é a derivada de em relação a , que é .
  3. :
  4. :

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
partial wpartial t = [sec^2(uv) cdot 1v] cdot 3 + [sec^2(uv) cdot (-uv^2)] cdot (-2)

Passo 5

Simplificando os termos:
partial wpartial t = 3 cdot sec^2(uv)v + 2 cdot u cdot sec^2(uv)v^2
Podemos fatorar partial wpartial t = sec^2(uv) ( 3v + 2uv^2 ) para deixar a expressão mais compacta:

Resposta

A derivada parcial partial wpartial t = sec^2(uv) ( 3v + 2uv^2 ) é:

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