Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função
. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada quando possível, senão, usaremos o teste da primeira derivada. Também vamos encontrar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Vou explicar cada passo certinho para você entender.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos relativos. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Igualando
a zero:
Podemos fatorar:
Então,
ou
. Esses são nossos pontos críticos.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos, usamos a segunda derivada da função. Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo relativo.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os valores de
onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então,
é um ponto de inflexão.
Passo 7
Vamos determinar a concavidade do gráfico em cada intervalo:
- Para
:
Escolha
:
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
- Para
:
Escolha
:
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
Passo 8
Finalmente, vamos resumir os resultados:
- Extremo relativo máximo em
- Extremo relativo mínimo em
- Ponto de inflexão em
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
e um mínimo relativo em
. Há um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para baixo quando
e côncavo para cima quando
.