Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
h(x) = 2x^3 - 9x^2 + 27

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função . Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada quando possível, senão, usaremos o teste da primeira derivada. Também vamos encontrar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Vou explicar cada passo certinho para você entender.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função , que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos relativos. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Igualando a zero:
Podemos fatorar:
Então, ou . Esses são nossos pontos críticos.

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos, usamos a segunda derivada da função. Vamos calcular :

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo relativo.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os valores de onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, é um ponto de inflexão.

Passo 7

Vamos determinar a concavidade do gráfico em cada intervalo:
  • Para :
Escolha :
Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
  • Para :
Escolha :
Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.

Passo 8

Finalmente, vamos resumir os resultados:
  • Extremo relativo máximo em
  • Extremo relativo mínimo em
  • Ponto de inflexão em
  • Concavidade para baixo em
  • Concavidade para cima em

Resposta

A função possui um máximo relativo em e um mínimo relativo em . Há um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para baixo quando e côncavo para cima quando .

Exercícios relacionados