Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda, quando possível. Se não der, usamos o teste da derivada primeira. Além disso, temos que descobrir os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis extremos.
A função é . Vamos usar a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde :
Isso acontece quando ou .
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos (máximos ou mínimos relativos).
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada .
A primeira derivada é . Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para :
    Como , o teste da segunda derivada não é conclusivo aqui. Vamos usar o teste da primeira derivada.
    Observando a primeira derivada , próximos a :
    • Para , digamos : (decrescente)
    • Para , digamos : (decrescente)
    Como a derivada permanece negativa, não há mudança de concavidade, então não é um extremo relativo.
  2. Para :
    Como , temos um mínimo relativo em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada .
Os pontos de inflexão ocorrem onde ou onde a concavidade muda. Então:
Resolvendo:
Então, os possíveis pontos de inflexão são e .
Vamos verificar a mudança de concavidade:
  1. Para :
    • Para , digamos : (Côncavo para cima)
    • Para , digamos : (Côncavo para baixo)
    Mudança de concavidade, então é um ponto de inflexão.
  2. Para :
    • Para , digamos : (Côncavo para baixo)
    • Para , digamos : (Côncavo para cima)
    Mudança de concavidade, então é outro ponto de inflexão.

Passo 7

Vamos resumir os resultados:
  • Extremos Relativos:
    • Mínimo Relativo em
  • Pontos de Inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima quando e
    • Côncavo para baixo quando

Resposta

A função possui um mínimo relativo em . Além disso, há pontos de inflexão em e . O gráfico é côncavo para cima nos intervalos e , e côncavo para baixo em . A seguir, um esboço do gráfico reflete essas características.

Exercícios relacionados

(e)
Se , calcule o quociente das diferenças
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.