Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da derivada segunda, quando possível. Se não der, usamos o teste da derivada primeira. Além disso, temos que descobrir os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis extremos.
A função é
. Vamos usar a regra do produto para derivar:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde
:
Isso acontece quando
ou
.
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos (máximos ou mínimos relativos).
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
.
A primeira derivada é
. Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
-
Para
: Como, o teste da segunda derivada não é conclusivo aqui. Vamos usar o teste da primeira derivada. Observando a primeira derivada, próximos a : - Para
, digamos : (decrescente) - Para
, digamos : (decrescente)
Como a derivada permanece negativa, não há mudança de concavidade, entãonão é um extremo relativo. - Para
-
Para
: Como, temos um mínimo relativo em .
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada
.
Os pontos de inflexão ocorrem onde
ou onde a concavidade muda. Então:
Resolvendo:
Então, os possíveis pontos de inflexão são
e
.
Vamos verificar a mudança de concavidade:
-
Para
: - Para
, digamos : (Côncavo para cima) - Para
, digamos : (Côncavo para baixo)
Mudança de concavidade, entãoé um ponto de inflexão. - Para
-
Para
: - Para
, digamos : (Côncavo para baixo) - Para
, digamos : (Côncavo para cima)
Mudança de concavidade, entãoé outro ponto de inflexão. - Para
Passo 7
Vamos resumir os resultados:
-
Extremos Relativos:
- Mínimo Relativo em
- Mínimo Relativo em
-
Pontos de Inflexão:
-
-
Concavidade:
- Côncavo para cima quando
e - Côncavo para baixo quando
- Côncavo para cima quando
Resposta
A função
possui um mínimo relativo em
. Além disso, há pontos de inflexão em
e
. O gráfico é côncavo para cima nos intervalos
e
, e côncavo para baixo em
. A seguir, um esboço do gráfico reflete essas características.
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(e)
Se
, calcule o quociente das diferenças
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.