Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda quando possível, ou o teste da derivada primeira se não for. Além disso, precisamos achar os pontos de inflexão, determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas e análise de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os críticos, que são potenciais pontos de máximo ou mínimo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a primeira derivada a zero:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, encontramos a segunda derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um máximo relativo em .

Passo 6

Além dos extremos, precisamos achar os pontos de inflexão e determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Sabemos que:
Como é constante e negativa para todo , não há mudanças de concavidade. Portanto, a função é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Ponto máximo em . Vamos calcular :
Então, o ponto máximo é .
  1. A função é uma parábola com concavidade para baixo (já que o coeficiente de é negativo).
  2. O eixo de simetria é .
  3. A interseção com o eixo y ocorre quando :
Então, o ponto de interseção é .
  1. Para encontrar a interseção com o eixo x, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Então, as interseções com o eixo x são e .

Resposta

A função possui um máximo relativo em . Não há pontos de inflexão, e o gráfico é sempre côncavo para baixo. As interseções com os eixos são no eixo y e no eixo x. O esboço do gráfico é uma parábola virada para baixo com o ponto máximo em .

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(e)
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.