Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da derivada segunda quando possível, ou o teste da derivada primeira se não for. Além disso, precisamos achar os pontos de inflexão, determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas e análise de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar os críticos, que são potenciais pontos de máximo ou mínimo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando a primeira derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um máximo relativo em
.
Passo 6
Além dos extremos, precisamos achar os pontos de inflexão e determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Sabemos que:
Como
é constante e negativa para todo
, não há mudanças de concavidade. Portanto, a função é sempre côncava para baixo e não possui pontos de inflexão.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
:
- Ponto máximo em
. Vamos calcular :
Então, o ponto máximo é
.
-
A função é uma parábola com concavidade para baixo (já que o coeficiente de
é negativo). -
O eixo de simetria é
. -
A interseção com o eixo y ocorre quando
:
Então, o ponto de interseção é
.
- Para encontrar a interseção com o eixo x, resolvemos
:
Usando a fórmula quadrática:
Então, as interseções com o eixo x são
e
.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
. Não há pontos de inflexão, e o gráfico é sempre côncavo para baixo. As interseções com os eixos são
no eixo y e
no eixo x. O esboço do gráfico é uma parábola virada para baixo com o ponto máximo em
.
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(e)
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
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