Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
21.
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Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando
e
se aproximam de 0. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. O denominador
é a distância do ponto
até a origem
. Então, a função basicamente está dividindo a coordenada
pela distância até a origem.
Passo 3
Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Se obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
. Pelo lado negativo,
. Isso já mostra que o limite depende do caminho, mas vamos verificar outro caminho para confirmar.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Aqui, similarmente ao passo anterior, se
se aproxima de 0 pelo lado positivo, o resultado é
, e pelo lado negativo é
.
Passo 6
Como obtivemos diferentes valores dependendo do caminho escolhido (
ou
no primeiro caminho, e
ou
no segundo caminho), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.