Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
21.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando e se aproximam de 0. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, precisamos verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. O denominador é a distância do ponto até a origem . Então, a função basicamente está dividindo a coordenada pela distância até a origem.

Passo 3

Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Se obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde . Substituindo por 0 na função, temos:
Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, . Pelo lado negativo, . Isso já mostra que o limite depende do caminho, mas vamos verificar outro caminho para confirmar.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde . Substituindo por na função, temos:
Aqui, similarmente ao passo anterior, se se aproxima de 0 pelo lado positivo, o resultado é , e pelo lado negativo é .

Passo 6

Como obtivemos diferentes valores dependendo do caminho escolhido ( ou no primeiro caminho, e ou no segundo caminho), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
11) .
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(b) .
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(e) .
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
26.