Usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(x)x=1
e lim x +infty(1+1x)^x=e calcule:
(e) lim x 0 sen(sen(x))sen(x).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
lim x 0 sen(sen(x))sen(x)
Para resolver isso, vamos usar dois limites fundamentais que já conhecemos:
  1. lim x 0 sen(x)x=1
  2. lim x +infty(1+1x)^x=e
Vamos focar no primeiro limite, que relaciona o seno de x com x quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos:
sen(sen(x))sen(x)
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
y = sen(x)
Então, conforme x se aproxima de 0, y também se aproxima de 0, porque sen(0) = 0.

Passo 3

Com essa substituição, nossa expressão original fica:
sen(y)y
Agora, queremos calcular o limite quando y se aproxima de 0:
lim y 0 sen(y)y

Passo 4

Lembrando do primeiro limite fundamental que mencionamos no Passo 1:
lim y 0 sen(y)y = 1
Isso significa que, conforme y se aproxima de 0, a razão entre o seno de y e y tende a 1.

Resposta

Portanto,
lim x 0 sen(sen(x))sen(x) = 1

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