Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
11)
.
11)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para demonstrar que
para qualquer
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de sequências, mais especificamente os limites notáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam quando o expoente se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que qualquer número positivo
pode ser expresso usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Então, podemos reescrever
assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de
à medida que
tende ao infinito. Sabemos que se o expoente de
tende a zero, então
. Vamos ver o que acontece com
quando
fica muito grande:
Isso porque
é uma constante e, dividindo por um número que vai para infinito, o resultado vai para zero.
Passo 4
Com isso, podemos concluir que:
Portanto, o limite de
conforme
tende ao infinito é 1.