Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
11) lim x^1k=1, x>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para demonstrar que para qualquer . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de sequências, mais especificamente os limites notáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam quando o expoente se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão x = e^ln(x) de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que qualquer número positivo x^1k = (e^ln(x))^1k = e^ln(x)k pode ser expresso usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Então, podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de limk to infty ln(x)k = 0 à medida que tende ao infinito. Sabemos que se o expoente de tende a zero, então . Vamos ver o que acontece com quando fica muito grande:
Isso porque é uma constante e, dividindo por um número que vai para infinito, o resultado vai para zero.

Passo 4

Com isso, podemos concluir que:
limk to infty e^ln(x)k = e^0 = 1
Portanto, o limite de conforme tende ao infinito é 1.

Resposta

limk to infty x^1k = 1 para todo x > 0

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