Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
11) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para demonstrar que para qualquer . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de sequências, mais especificamente os limites notáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências funcionam quando o expoente se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que fique mais fácil de analisar o limite. Sabemos que qualquer número positivo pode ser expresso usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Então, podemos reescrever assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite de à medida que tende ao infinito. Sabemos que se o expoente de tende a zero, então . Vamos ver o que acontece com quando fica muito grande:
Isso porque é uma constante e, dividindo por um número que vai para infinito, o resultado vai para zero.
Passo 4
Com isso, podemos concluir que:
Portanto, o limite de conforme tende ao infinito é 1.
Resposta
Exercícios relacionados
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(b) .
Se é uma função real de uma variável real, derivável até a 2 a. ordem, verifique que , sendo uma constante, satisfaz a equação da onda
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
21.
Usando os limites fundamentais:
calcule:
(e) .