Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar entender sobre séries geométricas e os critérios de convergência para aplicar aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrever a série assim:

Passo 4

Identificando os valores de e :

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, .

Passo 6

Calculando o valor absoluto de :
Como é menor que 1, a série geométrica converge.

Passo 7

Além disso, como estamos considerando o valor absoluto da série, estamos falando de convergência absoluta. Isso significa que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.