Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar entender sobre séries geométricas e os critérios de convergência para aplicar aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrever a série assim:
Passo 4
Identificando os valores de e :
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, .
Passo 6
Calculando o valor absoluto de :
Como é menor que 1, a série geométrica converge.
Passo 7
Além disso, como estamos considerando o valor absoluto da série, estamos falando de convergência absoluta. Isso significa que a série original também converge absolutamente.