Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n 2^nn^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar se a série infinita
sumn=1^+infty(-1)^n 2^nn^3
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que ajudam a classificar essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem o fator alternado (-1)^n, ou seja, vamos analisar:
sumn=1^+infty 2^nn^3
Se essa série convergir, então a série original também é absolutamente convergente.

Passo 3

Para testar a convergência da série sumn=1^+infty 2^nn^3, podemos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos que envolvem funções exponenciais ou fatoriais. O teste da razão examina o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão:
an = 2^nn^3, an+1 = 2^n+1(n+1)^3
Calculando a razão:
an+1an = 2^n+1(n+1)^3 cdot n^32^n = 2 cdot ( nn+1 )^3
Tomando o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty 2 cdot ( nn+1 )^3 = 2 cdot ( 11 )^3 = 2

Passo 5

Como L = 2 > 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^+infty 2^nn^3 diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = 2^nn^3 satisfazem:
  1. bn é decrescente,
  2. limn to infty bn = 0,
então a série alternada converge.

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento: bn = 2^nn^3
    Calculando bn+1/bn:
    bn+1bn = 2^n+1/(n+1)^32^n/n^3 = 2 cdot ( nn+1 )^3
    Já vimos que isso tende a 2 quando n tende ao infinito, o que significa que bn+1 > bn para grandes n. Portanto, a sequência não é decrescente.
  2. Limite:
    limn to infty 2^nn^3 = infty
    Pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 8

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada não são atendidos (a sequência bn não é decrescente e não tende a zero), concluímos que a série não é condicionalmente convergente.

Passo 9

Com base nos testes realizados:
  • A série de valores absolutos diverge.
  • A série alternada também não atende aos critérios para convergência.
Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série é divergente.

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