Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar se a série infinita
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que ajudam a classificar essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem o fator alternado , ou seja, vamos analisar:
Se essa série convergir, então a série original também é absolutamente convergente.
Passo 3
Para testar a convergência da série podemos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos que envolvem funções exponenciais ou fatoriais. O teste da razão examina o limite:
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
L = limn to infty 2 cdot ( nn+1 )^3 = 2 cdot ( 11 )^3 = 2
Passo 5
Como L = 2 > 1, pelo teste da razão, a série sumn=1^+infty 2^nn^3diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = 2^nn^3 satisfazem:
bn é decrescente,
limn to infty bn = 0,
então a série alternada converge.
Passo 7
Vamos verificar as condições:
Decrescimento:bn = 2^nn^3
Calculando bn+1/bn:
bn+1bn = 2^n+1/(n+1)^32^n/n^3 = 2 cdot ( nn+1 )^3
Já vimos que isso tende a 2 quando n tende ao infinito, o que significa que bn+1 > bn para grandes n. Portanto, a sequência não é decrescente.
Limite:
limn to infty 2^nn^3 = infty
Pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.
Passo 8
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada não são atendidos (a sequência bn não é decrescente e não tende a zero), concluímos que a série não é condicionalmente convergente.
Passo 9
Com base nos testes realizados:
A série de valores absolutos diverge.
A série alternada também não atende aos critérios para convergência.