Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar se a série infinita
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que ajudam a classificar essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem o fator alternado , ou seja, vamos analisar:
Se essa série convergir, então a série original também é absolutamente convergente.
Passo 3
Para testar a convergência da série podemos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos que envolvem funções exponenciais ou fatoriais. O teste da razão examina o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da razão:
Calculando a razão:
Tomando o limite quando vai para o infinito:
Passo 5
Como , pelo teste da razão, a série diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos satisfazem:
é decrescente,
,
então a série alternada converge.
Passo 7
Vamos verificar as condições:
Decrescimento:
Calculando :
Já vimos que isso tende a 2 quando tende ao infinito, o que significa que para grandes . Portanto, a sequência não é decrescente.
Limite:
Pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.
Passo 8
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada não são atendidos (a sequência não é decrescente e não tende a zero), concluímos que a série não é condicionalmente convergente.
Passo 9
Com base nos testes realizados:
A série de valores absolutos diverge.
A série alternada também não atende aos critérios para convergência.