Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa determinar se a série infinita
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência que ajudam a classificar essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem o fator alternado , ou seja, vamos analisar:
Se essa série convergir, então a série original também é absolutamente convergente.

Passo 3

Para testar a convergência da série podemos usar o teste da razão, que é útil para séries com termos que envolvem funções exponenciais ou fatoriais. O teste da razão examina o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão:
Calculando a razão:
Tomando o limite quando vai para o infinito:

Passo 5

Como , pelo teste da razão, a série diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série original é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos satisfazem:
  1. é decrescente,
  2. ,
então a série alternada converge.

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento:
    Calculando :
    Já vimos que isso tende a 2 quando tende ao infinito, o que significa que para grandes . Portanto, a sequência não é decrescente.
  2. Limite:
    Pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.

Passo 8

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada não são atendidos (a sequência não é decrescente e não tende a zero), concluímos que a série não é condicionalmente convergente.

Passo 9

Com base nos testes realizados:
  • A série de valores absolutos diverge.
  • A série alternada também não atende aos critérios para convergência.
Portanto, a série original diverge.

Resposta

A série é divergente.

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Prove a parte (iii) do teste da raiz, aplicando-o às séries e , (Sugestäo: determine , expressando e usando a regra de L’Hôpital para achar .)
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