Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo alternada:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, convergência absoluta e séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente ignora o fator alternado
e analisa a série dos valores absolutos:
. Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente.
Passo 3
Observando a série
, percebemos que ela é uma série de termos positivos e podemos usar o Teste da Razão para verificar sua convergência. O Teste da Razão funciona assim: pegamos o limite de
conforme
tende ao infinito.
Passo 4
Calculando:
Como o limite é 0, que é menor que 1, pela Razão do Teste, a série converge absolutamente.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, não precisamos analisar a convergência condicional. Séries que convergem absolutamente também convergem condicionalmente, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Então, concluímos que a série original converge absolutamente.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.
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