Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 2^nn!

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo alternada: sumn=1^+infty(-1)^n+1 2^nn!. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, convergência absoluta e séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente ignora o fator alternado (-1)^n+1 e analisa a série dos valores absolutos: sumn=1^+infty 2^nn!. Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente.

Passo 3

Observando a série sum 2^nn!, percebemos que ela é uma série de termos positivos e podemos usar o Teste da Razão para verificar sua convergência. O Teste da Razão funciona assim: pegamos o limite de an+1an conforme n tende ao infinito.

Passo 4

Calculando:
limn to infty 2^n+1(n+1)!2^nn! = limn to infty 2^n+1 cdot n!2^n cdot (n+1)! = limn to infty 2 cdot n!(n+1) cdot n! = limn to infty 2n+1 = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, pela Razão do Teste, a série converge absolutamente.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, não precisamos analisar a convergência condicional. Séries que convergem absolutamente também convergem condicionalmente, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Então, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n+1 2^nn! é absolutamente convergente.

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