Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Vamos analisar a série . Queremos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para séries que envolvem fatoriais.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que cada tipo de convergência significa:
Convergente Absolutamente: A série converge. Isso implica que a série original também converge.
Convergente Condicionalmente: A série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: A série não converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste diz que se:
então:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
Aqui, .
Passo 4
Vamos calcular :
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.