Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty n^2n!

Passo 1

Vamos analisar a série . Queremos descobrir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para séries que envolvem fatoriais.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que cada tipo de convergência significa:
  • Convergente Absolutamente: A série converge. Isso implica que a série original também converge.
  • Convergente Condicionalmente: A série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: A série não converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Esse teste diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
então:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (n+1)^2(n+1)! times n!n^2 = (n+1)^2n^2 times (n+1) = n+1n^2 :
an+1an = 1n + 1n^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty ( 1n + 1n^2 ) = 0 tende ao infinito:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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