Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma série infinita e pediu para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série é:
Vamos usar alguns conceitos de convergência de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente: A série tem um limite finito.
  • Absolutamente convergente: A série da valores absolutos converge.
  • Condicionalmente convergente: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
  • Divergente: A série não converge.

Passo 3

Vamos verificar se a série original é alternada. Observamos que o termo faz a série alternar os sinais. Portanto, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos devem ser decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.

Passo 5

Vamos verificar o primeiro ponto: é decrescente?
Sim, porque conforme aumenta, cresce muito rapidamente, fazendo com que diminua.

Passo 6

Agora, verificamos o segundo ponto: .
Sabemos que tende ao infinito conforme cresce, então:

Passo 7

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada foram atendidos, concluímos que a série é convergente.

Passo 8

Agora, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, vamos analisar a série dos valores absolutos:

Passo 9

Para essa nova série, notamos que cresce muito rápido, e a série se assemelha à série de potências de e:
Sabemos que a série de converge, então nossa série dos valores absolutos também converge.

Passo 10

Como a série dos valores absolutos converge, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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