Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma série infinita e pediu para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série é:
Vamos usar alguns conceitos de convergência de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente: A série tem um limite finito.
Absolutamente convergente: A série da valores absolutos converge.
Condicionalmente convergente: A série converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Divergente: A série não converge.
Passo 3
Vamos verificar se a série original é alternada. Observamos que o termo faz a série alternar os sinais. Portanto, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
Os termos devem ser decrescentes.
O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 5
Vamos verificar o primeiro ponto: é decrescente?
Sim, porque conforme aumenta, cresce muito rapidamente, fazendo com que diminua.
Passo 6
Agora, verificamos o segundo ponto: .
Sabemos que tende ao infinito conforme cresce, então:
Passo 7
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada foram atendidos, concluímos que a série é convergente.
Passo 8
Agora, para determinar se a convergência é absoluta ou condicional, vamos analisar a série dos valores absolutos:
Passo 9
Para essa nova série, notamos que cresce muito rápido, e a série se assemelha à série de potências de e:
Sabemos que a série de converge, então nossa série dos valores absolutos também converge.
Passo 10
Como a série dos valores absolutos converge, a série original é absolutamente convergente.