Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui uma série infinita que alterna os sinais e envolve fatoriais e potências de 2. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se ela simplesmente diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o teste da razão e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente vai considerar a série sem os sinais alternados, ou seja:
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a entender o comportamento dos termos conforme n cresce.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Como , pelo Teste da Razão, a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos que:
  1. Os termos sejam decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito seja 0.
Vamos verificar o limite:
Como o limite não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.

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