Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n 1(n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Por outro lado, se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente. E se nem a série original nem a série dos valores absolutos converge, então a série é divergente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Convergência Absoluta primeiro. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty |(-1)^n 1(n+1)^3| = sumn=1^+infty 1(n+1)^3
Essa é uma série p, onde . Sabemos que a série p converge se . Como , essa série dos valores absolutos converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente, mas o fato de ser absolutamente convergente é uma informação mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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