Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Por outro lado, se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente. E se nem a série original nem a série dos valores absolutos converge, então a série é divergente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Convergência Absoluta primeiro. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que a série p converge se . Como , essa série dos valores absolutos converge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente, mas o fato de ser absolutamente convergente é uma informação mais forte.